Bei dem folgenden Hamiltonoperator für zwei identische lineare Oszillatoren mit der Federkonstanten k und dem Wechselwirkungspotential alpha x1x2 wurde I gebeten, den Erwartungswert langle x1x2rangle (x1ampx2 sind Oszillatorvariablen) zu finden: Hut frac 21 frac 22 frac12k (x12x22) alpha x1x2 Nichts anderes wissen Zu tun, wechselte ich zu normalen Koordinaten: x1frac x2frac Die Impulsoperatoren werden entsprechend in der gleichen Weise geändert. Der neue Hamilton-Operator lautet also: Hut frac 2I frac 2 frac12 (kalpha) xI2frac12 (k-alpha) x 2 Dies kann nun als zwei separate Eigenwertprobleme gelöst werden, wodurch zwei Lösungen erhalten werden. Jedoch spezifiziert das Problem niemals die Art der Partikel auf diesen Oszillatoren (d. h. identische Fermionen, Bosonen). Also dies führt mich zu fragen, wie sollte die Wellenfunktion gebildet werden Symmetric, Asymmetric, oder Weder Now, der zweite Teil. In welcher Weise die Wellenfunktion gebildet wird, x1x2frac12 (xI2-x 2). Ich habe dann versucht, dies in Bezug auf die Anhebung und Senkung der Betreiber zu formulieren. Es scheint mir, dass es vier Arten von Betreibern. Wir können (mit Griffiths-Notation): aI, a, a und a. Wo jeder der Betreiber in der jeweiligen Basis entspricht. Dies erschien mir etwas merkwürdig, als ich versuchte, die Operatoren auf eine asymmetrisch oder symmetrisch geformte Wellenfunktion anzuwenden. Zum Beispiel, wie könnte man die Anwendung des Anwenders auf etwas wie: psiI) psi) rangle Oder bin ich darüber nachzudenken, falsch irgendwie Oder vielleicht gibt es einige einfacher Weg. Jede Anleitung wird sehr geschätzt. Ja, so ist das Produkt psiIpsi anti-symmetrisch unter Austausch, wenn n ist ungerade und symmetrisch, wenn n ist gerade. So bedeutet dies, dass die Wellenfunktion tatsächlich so wie ein Produkt geschrieben wird, und die Quantenzahlen werden durch, ob die Partikel sind Fermionen oder Bosonen Ich vermute, dass dies Sinn macht Es wird die Berechnung der Erwartungswert viel einfacher ndash ClassicStyle Sep 14 14 bei 23: 58 Gekoppelte Harmonische Oszillatoren Neben der Präsentation eines physikalisch wichtigen Systems zeigt dieser Vortrag eine sehr tiefe Verbindung, die im Mittelpunkt der modernen Anwendungen der Quantenmechanik steht. Wir werden sehen, daß die Quantentheorie einer Partikelsammlung als Theorie eines Feldes umgestaltet werden kann (dh ein Objekt, das an jedem Punkt des Raumes Werte annimmt). Sie kennen alle die klassischen Feldtheorien - ein Beispiel ist die Wellengleichung. Ein anderes Beispiel ist die Schrödinger-Gleichung. Dies ist Teil der Welle-Teilchen-Dualität: Die Theorie eines einzigen Quantenteilchens ist die klassische Theorie einer Welle (plus einige Regeln darüber, wie die Messung funktioniert). Dieser Ansatz ist allgegenwärtig. Zum Beispiel ist ein gemeinsamer Weg zum Verständnis von hochenergetischen Phänomenen, eine klassische Feldtheorie mit denselben Symmetrien aufzuschreiben und dann mit Techniken zu quantisieren, wie sie in dieser Vorlesung erlernt werden. Andererseits beinhaltet ein gemeinsamer Ansatz in der Physik der kondensierten Materie ein kompliziertes mikroskopisches Modell von wechselwirkenden Bestandteilen, wobei dann eine effektive Niedrigenergie-Feldtheorie entnommen wird. In beiden Bereichen sind die Techniken der Quantenfeldtheorie auch universelle Werkzeuge für die Berechnung der Dinge. In diesem Vortrag beginnen wir mit einer diskreten Annäherung an eine klassische Feldtheorie (eine Variante eines elastischen Stabes), quantisieren sie und zeigen, daß sie als Theorie der Teilchen umgestaltet werden kann. Diese emergenten Teilchen werden als Phononen bezeichnet - Quanten des Schalls. Die gleiche Art von Argumenten verbinden klassische Lichtwellen und Photonen. Da die Maxwells-Gleichungen ein wenig komplizierter sind als die Wellengleichung, ist natürlich die Theorie der Photonen etwas komplizierter (nicht viel). Dies ist eine ziemlich anspruchsvolle Geschichte - so wird es im Wesentlichen zwei Vorträge, um es zu vollenden. Bevor Sie mit unserem Modell beginnen, ist es sinnvoll, einige Eigenschaften des klassischen Klangs in realen Materialien zu überprüfen. Ein typisches mentales Modell ist, dass wir einen Kugelball haben, der durch Federn verbunden ist: Das wird zwei Arten von Schallwellen haben: Longitudinalmoden, bei denen sich die Atome in Richtung der Propegation bewegen und transversale Moden, in denen sich die Atome senkrecht zur Richtung bewegen Der Bewegung: Für die Konkretheit werden wir über Längsmodi nachdenken, obwohl (wie Sie aus PHYS 22142218 wissen) die Theorie des Quersounds ziemlich ähnlich ist. Ich möchte jedoch eine weitere Stufe der Raffinesse hinzufügen. Die meisten Materialien haben mehr als eine Art von Atom. Daher sollte unser Modell wirklich mindestens zwei verschiedene Arten von Kugeln haben: In diesen komplizierteren Materialien gibt es akustische Moden, in denen sich alle Atome zusammen bewegen und optische Moden, bei denen sich die Schwarz-Weiß-Atome aus der Phase bewegen. Diese letzteren werden als optisch bezeichnet, weil sie im allgemeinen eine endliche zeitabhängige Polarisation einbeziehen und daher mit Licht koppeln können. Alle diese können entweder längs oder quer (so werden Sie hören, die Menschen sprechen über längliche optische Modi oder transversale optische Modi. Wir werden ein Spielzeug-Modell der longitudinalen akustischen Modi zu machen. Wir denken, dass die schweren Atome im Wesentlichen stationär sind, Und nur die leichten Atome bewegen sich, es wird eine schwache Kopplung zwischen den Lichtatomen geben, die ein Modell so ähnlich ergibt: Wir haben Etiketten hinzugefügt, um zu zeigen, daß das j-te Teilchen um einen Abstand xj von seiner Gleichgewichtsposition verschoben wird A ist die Gitterkonstante), und es fühlt sich eine Rückstellkraft mit der Federkonstante kappa an, die die Kopplung mit den schweren Atomen repräsentiert, und das j-te Teilchen wird auch durch eine Feder an das j1te Teilchen angeheftet, die Federkonstante gammallkappa haben Wollen wir eine Quantenbeschreibung dieses Systems schreiben, indem wir die klassische Energie beginnen Etikett Esumj frac frac xj2frac (xj-x) 2. Ende Die quantenmechanische Version von diesem erfordert nur pjto-ipartial, und verwenden Sie diese in einer großen Schrödinger-Gleichung Hpsi (x1, x2, cdots, xN) Epsi (x1, x2, cdots, xN). Obwohl es schwer zu glauben scheint, stellt sich heraus, dass wir dieses Modell genau lösen können. Im Geiste dieses Kurses werde ich Ihnen jedoch eine ungefähre Methode zeigen, die uns ein wenig mehr Einblick verschafft. Die Annäherung wird sich auf die Tatsache, dass gammallkappa verlassen. Der erste Schritt dieser Annäherung ist ein wenig abstrakt. Ich werde vorstellen geschmierte Leiter Operatoren für die j-Teilchen. Da das j-te Teilchen mit den jpm1-Teilchen gekoppelt ist, sollten die entsprechenden Leiteroperatoren irgendwie alle drei Teilchen umfassen. Tatsächlich umfassen die Operatoren im allgemeinen alle Teilchen. Zur niedrigsten Ordnung in gammakappa genügt es, nur die nächsten Nachbarn einzuschließen. Ill erklären, wie ich das später bekommen habe, aber was ich tun werde, ist, zu erraten beginnen label xj frac left ((ajajdagger) alpha (aa daggera a dagger) right pj frac di left ((aj-ajdagger) - alpha (a - a Daggera - a Dolch) rechts, wo alpha klein sein soll, dh der Ordnung gammakappa Die Parameter d und alpha werden später gesetzt werden. Wenn wir alpha0 und d4sqrt dies ist nur die Standard-Definition der Leiter Operatoren Alphanq0 Dies können Leiteroperatoren für unabhängige harmonische Oszillatoren sein, wenn wir das Anfangsdiagramm ai, aj0 delta end anordnen können. Nehmen wir an, dass die Gleichungen (ref) erfüllt sind, und wir müssen dann überprüfen, ob die xs und ps die richtigen Kommutierungsbeziehungen haben: begin label Xi, xj0label pi, pj0label xi, pjihbar delta end, wobei delta das Kronecker-Delta ist, gleich null, wenn ineq j und 1 bei ij. Die ersten beiden Relationen Gl. (Ref) und (ref) sind trivial erfüllt, da aiaidagger, ajajdagger0 und Ai-aidagger, aj-ajdagger0.Die letzte Beziehung braucht mehr Arbeit. Die einzigen Fälle, die berücksichtigt werden müssen, sind die mit ij und die mit ij1. Beginnen wir mit ij. Wenn man das Kommutatorterm mit dem Begriff tut, erhält man xi, piihbar (1-alpha2). Dies ist gut genug für mich. Wenn alpha klein ist, dann ist alpha2 wirklich klein. Natürlich wäre es nicht zu schwer, unseren Ansatz ändern, um loszuwerden, diese kleine Diskrepanz. Es würde vermutlich zukünftige Buchhaltung ein wenig härter zwar bilden. Eine gute Faustregel ist dont verwenden eine genauere Modelapproximation, als Sie haben. Sie lernen oft mehr aus dem grausamen Ansatz. Nun sehen wir uns den nächsten Nachbarbegriff an. Die beiden Terme in Klammern sind eindeutig negativ für einander, also erhalten wir 0, wie gewünscht. wir haben unseren Ansatz in Gl jetzt ersetzen. (ref) in unsere Hamilton-Operator in Gl. (ref.) Wenn wir nicht aufpassen, sind die Dinge werden chaotisch. Anstatt nur in blind springen, es ist nützlich, um die Form zu schreiben dass die Expression nehmen: beginnen Hsumj links links (frac Tright) (ajdagger aj aj ajdagger) - t (einen Dolch ajajdagger a) rechts nonumberquad links Phantom Delta0 (aj ajajdagger ajdagger) Delta1 (aj aa Dolch aj) cdots rechts, Ende.. hier omega0, t, Delta0 und Delta1 sind alle Funktionen von m, kappa, Gamma und alpha. Die vernachlässigte Begriffe werden alle Ordnung (gammakappa) 2, so dass wir sie ignorieren. Die kühle Sache ist, dass, wenn wir wissen, was Die Form ist, können wir fragen, was jeder dieser Koeffizienten ist - eins nach dem anderen. Die resultierenden Ausdrücke werden viel weniger chaotisch. Dies ist eine gute allgemeine Strategie. In den Hausaufgaben werden Sie diese Begriffe zu berechnen - und Sie Wird feststellen, dass Sie Alpha und d so wählen können, dass Delta0Delta10. Mit dieser Wahl wird die Theorie durch den Hamilton-Operator beschrieben beginnen Hsumj links links (Frac Tright) (ajdagger aj aj ajdagger) - t (einen Dolch ajajdagger a) Recht. Dies ist ein interessanter Ausdruck, da er eine wichtige Symmetrie aufweist: die Anzahl der Quanten wird konserviert. Das ist Nsumk ajdagger aj pendelt mit dem Hamilton-Operator, und N ist daher eine Konstante der Bewegung. Wir können uns auf das Gehäuse N1 spezialisieren. Der Hilbert-Raum für diesen Sektor wird von den Staaten jannle überspannt - definiert als der Zustand, in dem der j-te Oszillator ein einziges Anregungsquantum hat und der Rest in seinem Grundzustand ist. Die allgemeinste Wellenfunktion ist dann beginnen psiranglesumj psij jrangle, end, wo psij2 die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Erregung im Zustand jrangle ist. Das sieht interessant aus. Was noch interessanter ist die Tatsache, dass die Schrödinger-Gleichung für psij (t) auf eine Gleichung reduziert werden: begin Etikett ipartialtpsirangleH psirangle sumj i psiprimej (t) jranglesumj leftleft (E0hbaromega02 Tright) psij-t psi - t psi rechts jrangle, Wo E0sumj (hbaromega02t) die Grundzustandsenergie ist (die umfangreich ist). Da ziemlich genau jede von uns entwickelte Messung nur Energiedifferenzen liefert, ist dies eine irrelevante Konstante. Diese Konstante kann durch die Transformation psij (t) bis psij (t) e entfernt werden. Die Zustände sind orthogonal, so dass Gl. (Ref) kann nur erfüllt werden, wenn für alle j, begin i psiprimej (t) (hbaromega02 t) psij-t psi - t psi, Ende, das familliar aussehen sollte. Dies ist eine Matrix-Gleichung: beginnen (ipartialt-hbaromega0) links links (beginnen 2t-t00cdots - t2t-t0 0-t2t-t0 vdots Ende rechts) nach links (beginnen PSI1 psi2 PSI3 PSI4 vdots (PSI1 psi2 PSI3 PSI4 vdots Ende rechts beginnen) End right) end Wir haben die Matrix vorher gesehen: es ist nur die endliche Differenzannäherung zur zweiten Ableitung. Wenn wir also durch unsere Ableitung von endlichen Differenzen rückwärts gehen, erhalten wir ipartialt psi (x) links (hbaromega0-frac rechts) psi (x), end wo hbar22ma2t. Wir haben die singuläre Partikel-Schrödinger-Gleichung aus einem Schallmodell abgeleitet, das wohl aus Partikeln besteht. Wir nennen diese Teilchen Phononen. Was noch spannender ist, können wir den Fall mit N2 betrachten. Nun wird der Hilbert-Raum von Zuständen mit Erregungen an zwei Stellen überspannt: j, jprimerangle (wobei jprime gleich j sein kann). Dies muss ein Zweikomponenten-Zustand sein. Interessanterweise können wir nicht angeben, Partikel ist an welcher Stelle - der Zustand ist nur durch die Orte der Partikel angegeben. Durch die Konstruktion sind die Teilchen ununterscheidbar: sie sind Bosonen. So entstehen bei der Quantisierung einer klassischen Feldtheorie automatisch Bosonen.
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